3.1.
Определение исходных понятий
В работах [6,15-20],
а также в монографии [8]
нами разрабатывалась теория топологического кодирования цепных
полимеров.
Согласно этим работам,
цепными мы называем неразветвленные полимеры, состоящие из повторяющихся
звеньев. Белки относятся к классу цепных полимеров, поэтому .данная
теория была легко адаптирована непосредственно к белкам [18].
3.1.1. Понятие звена
Обычно
в белках звеном называют аминокислотный остаток (боковую цепь), связанный с альфа-углеродным атомом, к
которому присоединены с одной стороны – аминогруппа, а с другой – карбонильная
группа (рис. 18, а).
В
рамках нашего подхода звеном является фрагмент белка, состоящий из двух альфа-углеродных атомов в с присоединенными к ним боковыми цепями Ri,
Ri-1,
и соединяющей их группы HN–C=O (рис. 18, б).
а |
б |
Рис. 18. К определению понятия звена. а - общепринятое
понятие аминокислотного звена в белке; б – понятие звена в рамках теории
топологического кодирования белков |
3.1.2. Четырехзвенный цепной граф
- аналог пентафрагмента белка
В рамках излагаемой
теории в качестве элементарного объекта для теоретического анализа был выделен фрагмент из пяти аминокислот
(рис. 19, а). Мы будем называть его пентафрагментом или 4х-звенным фрагментом белка. Как видно рис. 19, а, этот фрагмент содержит
5 альфа-углеродных атомов (отсюда – пентафрагмент), которые связаны четырьмя соединительными
группами HN–C=O, что соответствует
четырем звеньям в рамках наших понятий (разд 3.1.1.).
Выбор именно пентафрагмента для анализа
обусловлен тем, что это минимальный и наиболее распространенный фрагмент белка, в котором возможно
образование водородной связи между NiH –группой, принадлежащей к
i-му альфа-углеродному атому и
карбонильной группой O i-4=Ci-4, относящейся к i-4-ому альфа-углеродному
атому. Белковые фрагменты за счет водородной
могут фиксировать свою конформацию в виде
цикла. Мы называем это свойство связностью.
а |
б |
в г |
Рис. 19. Основные понятия теории топологического кодирования
белков. а
– 4х-звенный фрагмент белка (пентафрагмент);
пунктиром обозначена фиксация i-го и i-4-го атомов при образовании водородной
связи в цикле; б
- аналог пентафрагмента
белка - 4х-звенный цепной граф. Сплошные линии – структурные ребра,
пунктирная линия – ребро связности; в -
матрица, описывающая конформацию приведенных
фрагментов полимера и графа; г - общий вид матрицы. |
||
Пояснение
обозначений на рисунках 19,а – 19,г. |
||
Рис. 19, а |
Рис. 19, б |
Рис. 19, в, г |
На этом
рисунке альфа-углеродные атомы аминокислот (кружки
с ободком), пронумерованы как i, i-1,
i-2, i-3, i-4. Пептидные
связи - HN–C=O-группы. Звено
включает: два альфа-углеродных атома и соединяющую
их пептидную связь (например, i -
i-1). Длина
звена в белке - величина относительно постоянная. Данный
фрагмент фиксирован водородной связью, образованной двумя пептидными связями: O=C–NH.....O=C–NH При этом атомы i и i-4 утрачивают подвижность
и оказываются связными. |
Вершины графа
(кружки) соответствуют на этом рисунке альфа-углеродным
атомам белка. Как и на рисунке 19, а они обозначены как i, i-1,
i-2, i-3, i-4. Сплошные
линии, связывающие вершины графа, соответствуют звену белка, соединяющему
соседние альфа-углеродные атомы. Назовем их
структурными ребрами. Звено графа
включает две соседних вершины и структурное ребро между ними и является
аналогом белкового звена. Длина структурного ребра есть величина постоянная и
характеризуется константой ks. Для описания
связных вершин графа введем понятие "ребра связности", соединяющего
несмежные вершины. Таких ребер несколько и они могут быть как одинаковой
длины, так и иметь набор характерных длин, обозначаемых kс. На нашем рисунке ребро связности (пунктир) соединяет вершины i и i-4. |
Для построения
матрицы выпишем слева вершины: i, i-1,
i-2, а
вверху - i-2, i-3, i-4. На пересечении строк и столбцов, идущих от вершин, в матрице
будем записывать: 1
- если есть ребро связности, и 0 - если его нет. Таких пересечений в матрице всего 6: i - i-2, i - i-3, i - i-4, i-1 - i-3, i-1 - i-4, i-2 - i-4. В нашем примере (рис. 19, б) ребро связности соединяет вершины i - i-4, поэтому в матрице на пересечении i-ой строки и i-4-го столбца стоит 1. Других ребер
связности в графе нет, вследствие чего в остальных пересечениях стоят нули. Общий вид матриц из 6 элементов показан на рис. 19, г. x1 - x6 - переменные,
способные принимать значения 0 и 1 (булевы переменные). Иногда будет
использоваться также строчная запись: x1x2x3x4x5x6. |
Использование математического аналога –
4х-звенного цепного графа позволяет рассмотреть все его возможные конформации. Однако прежде чем к ним переходить, необходимо напомнить основные конформации, которые может принимать белковая цепь и как эти
конформации можно описывать с помощью графов и
матриц.
3.1.3.
Типичные структуры белков, их графы и матричные описания
Наиболее часто в белках встречаются четыре типа конформаций [21, 22] :
- слабо связная конформация;
- растянутая конформация в
виде бета-структуры;
- напряженная
спиральная конформация 310, в которой водородная связь образуется между атомами NiH…Oi-3=C двух пептидных групп;
- альфа-спиральная конформация,
энергетически наиболее выгодная, в которой водородная связь образована между NiH…Oi-4=C.
Ниже приведены пентафрагменты
этих конформаций, четырехзвенные фрагменты
описывающих их графов и описания в виде верхних треугольных матриц. Обратите внимание на матрицы: мы их увидим в
блоках Суперматрицы, которая будет представлена в
следующем разделе.
а |
в |
б |
|
Рис. 20. Пентафрагмент слабо связной структуре белка (а), ее
4х-звеный граф (б) и матричное описание (в). |
Фрагмент слабо связной структуры белка (рис. 20,а) изображается
4х-звенным графом, у которого нет ребер связности (рис. 20,б) , поэтому
описывающая эту конформацию матрица содержит только
нули (рис. 20,в)
а |
в |
б |
|
Рис. 21. Бета-структурный пентафрагмент
белка (а), его 4х-звеный граф (б) и матричное описание (в). |
В слоистой бета-структуре белка (рис.21,а) фиксация несмежных альфа-углеродных атомов происходит за счет водородных
связей. Например, N
i-1H-группа i-1-ой
аминокислоты и C=Oi-3-группа i-3-ей образуют
водородные связи с соседней цепью. В результате альфа-углеродные
атомы i-1-ой - i-3-ей аминокислот оказываются связными (показано пунктиром на
рис. 21, а). В 4-х звенном графе этой структуры
(рис.21,б) ребра связности соединяют вершины i - i-2,
i-1 - i-3 и i-2 - i-4, что отражено в матрице (рис.21,в) значениями 1 в соответствующих пересечениях
строк и столбцов.
а |
б |
в |
Рис. 22. Пентафрагмент белка в конформации
спирали 310(а), его 4х-звеный граф (б) и его матричное описание
(в). |
В спирали 310, образуется две системы водородных
связей из HN–C=O-групп, которые и фиксируют ее конформацию (рис. 22, а). Они обеспечивают связность почти
всех альфа-углеродных атомов 4х-звенного фрагмента,
за исключением i-го - i-4-го, что наглядно видно на графе (рис. 22, б).. В
матрице (рис. 22, в). для этой пары вершин стоит 0.
а |
б |
в |
Рис. 23.
Альфа-спиральный пентафрагмент белка (а), его
4х-звеный граф (б) и его матричное описание (в). |
Типичной структурой
белков является альфа-спираль, 4-х звенный фрагмент
которой показан на рисунке 23,а. В нем присутствует только одна водородная
связь между NiH и
Oi-4=C, фиксирующая атомы i-ый и i-4-ый. Однако в более
протяженном фрагменте две другие HN–C=O-группы также участвуют в
фиксации альфа-углеродных атомов. Вследствие этого
все атомы альфа-спиральных фрагментов оказываются связными, что показано на
графе (рис. 23, б). Все переменные в матрице имеют значение 1 (рис. 23, в).
Возникают следующие
вопросы:
- сколько всего может
существовать связных конформаций 4х-звенных
фрагментов белка, их графов и матриц из 6 элементов?
- можно ли их каким-либо
образом классифицировать и расположить в виде таблицы?
С целью получения
ответов на эти вопросы мы провели такую
работу на 4х-звенном графе и построили Суперматрицу
его конформаций и описывающих эти конформации
треугольных матриц (раздел
3.2.).