Определение понятий теории топологического кодирования

3.1. Определение исходных понятий

В работах [6,15-20], а также в монографии [8] нами разрабатывалась теория топологического кодирования цепных полимеров.

Согласно этим работам, цепными мы называем неразветвленные полимеры, состоящие из повторяющихся звеньев. Белки относятся к классу цепных полимеров, поэтому .данная теория была легко адаптирована непосредственно к белкам [18].

3.1.1. Понятие звена

Обычно в белках звеном называют аминокислотный остаток (боковую цепь), связанный с альфа-углеродным атомом, к которому присоединены с одной стороны – аминогруппа, а с другой – карбонильная группа (рис. 18, а).

В рамках нашего подхода звеном является фрагмент белка, состоящий из двух альфа-углеродных атомов в с присоединенными к ним боковыми цепями R_i, R_i_-1, и соединяющей их группы HN–C=O (рис. 18, б).

Рис. 18. К определению понятия звена.

а - общепринятое понятие аминокислотного звена в белке; б – понятие звена в рамках теории топологического кодирования белков

3.1.2. Четырехзвенный цепной граф - аналог пентафрагмента белка

В рамках излагаемой теории в качестве элементарного объекта для теоретического анализа был выделен фрагмент из пяти аминокислот (рис. 19, а). Мы будем называть его пентафрагментом или 4х-звенным фрагментом белка. Как видно рис. 19, а, этот фрагмент содержит 5 альфа-углеродных атомов (отсюда – пентафрагмент), которые связаны четырьмя соединительными группами HN–C=O, что соответствует четырем звеньям в рамках наших понятий (разд 3.1.1.).

Выбор именно пентафрагмента для анализа обусловлен тем, что это минимальный и наиболее распространенный фрагмент белка, в котором возможно образование водородной связи между NiH –группой, принадлежащей к i-му альфа-углеродному атому и карбонильной группой O_i_-4=C_i_-4, относящейся к i-4-ому альфа-углеродному атому. Белковые фрагменты за счет водородной могут фиксировать свою конформацию в виде цикла. Мы называем это свойство связностью.

Рис. 19. Основные понятия теории топологического кодирования белков.

а – 4х-звенный фрагмент белка (пентафрагмент); пунктиром обозначена фиксация i-го и i-4-го атомов при образовании водородной связи в цикле;

б - аналог пентафрагмента белка - 4х-звенный цепной граф. Сплошные линии – структурные ребра, пунктирная линия – ребро связности;

в - матрица, описывающая конформацию приведенных фрагментов полимера и графа; г - общий вид матрицы.

Пояснение обозначений на рисунках 19,а – 19,г.

Рис. 19, а

Рис. 19, б

Рис. 19, в, г

На этом рисунке альфа-углеродные атомы аминокислот (кружки с ободком), пронумерованы как i, i-1, i-2, i-3, i-4.

Пептидные связи - HN–C=O-группы.

Звено включает: два альфа-углеродных атома и соединяющую их пептидную связь (например, i - i-1). Длина звена в белке - величина относительно постоянная.

Данный фрагмент фиксирован водородной связью, образованной двумя пептидными связями:

O=C–NH.....O=C–NH

При этом атомы i и i-4 утрачивают подвижность и оказываются связными.

Вершины графа (кружки) соответствуют на этом рисунке альфа-углеродным атомам белка. Как и на рисунке 19, а они обозначены как i, i-1, i-2, i-3, i-4.

Сплошные линии, связывающие вершины графа, соответствуют звену белка, соединяющему соседние альфа-углеродные атомы. Назовем их структурными ребрами.

Звено графа включает две соседних вершины и структурное ребро между ними и является аналогом белкового звена. Длина структурного ребра есть величина постоянная и характеризуется константой k_s.

Для описания связных вершин графа введем понятие "ребра связности", соединяющего несмежные вершины. Таких ребер несколько и они могут быть как одинаковой длины, так и иметь набор характерных длин, обозначаемых k_с.

На нашем рисунке ребро связности (пунктир) соединяет вершины i и i-4.

Для построения матрицы выпишем слева вершины: i, i-1, i-2, а вверху - i-2, i-3, i-4. На пересечении строк и столбцов, идущих от вершин, в матрице будем записывать: 1 - если есть ребро связности, и 0 - если его нет.

Таких пересечений в матрице всего 6:

i - i-2, i - i-3, i - i-4,

i-1 - i-3, i-1 - i-4,

i-2 - i-4.

В нашем примере (рис. 19, б) ребро связности соединяет вершины i - i-4, поэтому в матрице на пересечении i-ой строки и i-4-го столбца стоит 1. Других ребер связности в графе нет, вследствие чего в остальных пересечениях стоят нули.

Общий вид матриц из 6 элементов показан на рис. 19, г. x₁ - x₆ - переменные, способные принимать значения 0 и 1 (булевы переменные). Иногда будет использоваться также строчная запись: x₁x₂x₃x₄x₅x₆.

Использование математического аналога – 4х-звенного цепного графа позволяет рассмотреть все его возможные конформации. Однако прежде чем к ним переходить, необходимо напомнить основные конформации, которые может принимать белковая цепь и как эти конформации можно описывать с помощью графов и матриц.

3.1.3. Типичные структуры белков, их графы и матричные описания

Наиболее часто в белках встречаются четыре типа конформаций [21, 22] :

- слабо связная конформация;

- растянутая конформация в виде бета-структуры;

- напряженная спиральная конформация 3₁₀, в которой водородная связь образуется между атомами N_iH…O_i_-3=C двух пептидных групп;

- альфа-спиральная конформация, энергетически наиболее выгодная, в которой водородная связь образована между N_iH…O_i_-4=C.

Ниже приведены пентафрагменты этих конформаций, четырехзвенные фрагменты описывающих их графов и описания в виде верхних треугольных матриц. Обратите внимание на матрицы: мы их увидим в блоках Суперматрицы, которая будет представлена в следующем разделе.

Рис. 20. Пентафрагмент слабо связной структуре белка (а), ее 4х-звеный граф (б) и матричное описание (в).

Фрагмент слабо связной структуры белка (рис. 20,а) изображается 4х-звенным графом, у которого нет ребер связности (рис. 20,б) , поэтому описывающая эту конформацию матрица содержит только нули (рис. 20,в)

Рис. 21. Бета-структурный пентафрагмент белка (а), его 4х-звеный граф (б) и матричное описание (в).

В слоистой бета-структуре белка (рис.21,а) фиксация несмежных альфа-углеродных атомов происходит за счет водородных связей. Например, N _i-1H-группа i-1-ой аминокислоты и C=O_i-3-группа i-3-ей образуют водородные связи с соседней цепью. В результате альфа-углеродные атомы i-1-ой - i-3-ей аминокислот оказываются связными (показано пунктиром на рис. 21, а). В 4-х звенном графе этой структуры (рис.21,б) ребра связности соединяют вершины i - i-2, i-1 - i-3 и i-2 - i-4, что отражено в матрице (рис.21,в) значениями 1 в соответствующих пересечениях строк и столбцов.

Рис. 22. Пентафрагмент белка в конформации спирали 3₁₀(а), его 4х-звеный граф (б) и его матричное описание (в).

В спирали 3₁₀, образуется две системы водородных связей из HN–C=O-групп, которые и фиксируют ее конформацию (рис. 22, а). Они обеспечивают связность почти всех альфа-углеродных атомов 4х-звенного фрагмента, за исключением i-го - i-4-го, что наглядно видно на графе (рис. 22, б).. В матрице (рис. 22, в). для этой пары вершин стоит 0.

Рис. 23. Альфа-спиральный пентафрагмент белка (а), его 4х-звеный граф (б) и его матричное описание (в).

Типичной структурой белков является альфа-спираль, 4-х звенный фрагмент которой показан на рисунке 23,а. В нем присутствует только одна водородная связь между N_iH и O_i-4=C, фиксирующая атомы i-ый и i-4-ый. Однако в более протяженном фрагменте две другие HN–C=O-группы также участвуют в фиксации альфа-углеродных атомов. Вследствие этого все атомы альфа-спиральных фрагментов оказываются связными, что показано на графе (рис. 23, б). Все переменные в матрице имеют значение 1 (рис. 23, в).

Возникают следующие вопросы:

- сколько всего может существовать связных конформаций 4х-звенных фрагментов белка, их графов и матриц из 6 элементов?

- можно ли их каким-либо образом классифицировать и расположить в виде таблицы?

С целью получения ответов на эти вопросы мы провели такую работу на 4х-звенном графе и построили Суперматрицу его конформаций и описывающих эти конформации треугольных матриц (раздел 3.2.).

На главную страницу