3.1. Определение исходных понятий

В работах [6,15-20], а также в монографии [8]  нами разрабатывалась теория топологического кодирования цепных полимеров.

Согласно этим работам, цепными мы называем неразветвленные полимеры, состоящие из повторяющихся звеньев. Белки относятся к классу цепных полимеров, поэтому .данная теория была легко адаптирована непосредственно к белкам [18].           

3.1.1. Понятие звена

Обычно в белках звеном называют аминокислотный остаток (боковую цепь), связанный с альфа-углеродным атомом, к которому присоединены с одной стороны – аминогруппа, а с другой – карбонильная группа (рис. 18, а). 

 

В рамках нашего подхода звеном является фрагмент белка, состоящий из двух альфа-углеродных атомов в с присоединенными к ним боковыми цепями Ri, Ri-1, и соединяющей их группы HNC=O (рис. 18, б).

 

   а

 б

Рис. 18. К определению понятия звена.

а -  общепринятое понятие аминокислотного звена в белке; б – понятие звена в рамках теории топологического кодирования белков

 

 

3.1.2. Четырехзвенный цепной граф - аналог пентафрагмента белка

 

В рамках излагаемой теории в качестве элементарного объекта для теоретического анализа  был выделен фрагмент из пяти аминокислот (рис. 19, а).  Мы будем называть его пентафрагментом или 4х-звенным фрагментом белка.  Как видно рис. 19, а, этот фрагмент содержит 5 альфа-углеродных атомов (отсюда – пентафрагмент), которые связаны четырьмя соединительными группами HNC=O, что соответствует четырем звеньям в рамках наших понятий (разд 3.1.1.).

 

Выбор именно пентафрагмента для анализа  обусловлен тем, что это минимальный и наиболее распространенный  фрагмент белка, в котором возможно образование водородной связи между NiH –группой, принадлежащей к i-му альфа-углеродному атому и карбонильной группой O i-4=Ci-4, относящейся к i-4-ому альфа-углеродному атому. Белковые фрагменты за счет водородной  могут фиксировать свою конформацию в виде цикла.  Мы называем это свойство связностью.

 

 

 

а

 

 б

 

 

 

 в

 

  г

 

Рис. 19. Основные понятия теории топологического кодирования белков.

а – 4х-звенный фрагмент белка (пентафрагмент); пунктиром обозначена фиксация i-го и i-4-го атомов при образовании водородной связи в цикле;

б -  аналог пентафрагмента белка - 4х-звенный цепной граф. Сплошные линии – структурные ребра, пунктирная линия – ребро связности;

в  -  матрица, описывающая конформацию приведенных фрагментов полимера и графа;  г -  общий вид матрицы.

 

 

Пояснение обозначений на рисунках 19,а – 19,г.

 

Рис. 19, а

Рис. 19, б

Рис. 19, в, г

 

На этом рисунке альфа-углеродные атомы аминокислот (кружки с ободком), пронумерованы как i, i-1, i-2, i-3, i-4.

Пептидные связи - HNC=O-группы.

Звено включает: два альфа-углеродных атома и соединяющую их пептидную связь (например, i - i-1). Длина звена в белке - величина относительно постоянная.

Данный фрагмент фиксирован водородной связью, образованной двумя пептидными связями:

O=CNH.....O=CNH

При этом атомы i и i-4 утрачивают подвижность и оказываются связными.

Вершины графа (кружки) соответствуют на этом рисунке альфа-углеродным атомам белка. Как и на рисунке 19, а они обозначены как  i, i-1, i-2, i-3, i-4.

Сплошные линии, связывающие вершины графа, соответствуют звену белка, соединяющему соседние альфа-углеродные атомы. Назовем их структурными ребрами.

Звено графа включает две соседних вершины и структурное ребро между ними и является аналогом белкового звена. Длина структурного ребра есть величина постоянная и характеризуется константой ks.

Для описания связных вершин графа введем понятие "ребра связности", соединяющего несмежные вершины. Таких ребер несколько и они могут быть как одинаковой длины, так и иметь набор характерных длин, обозначаемых kс.

На нашем рисунке ребро связности (пунктир) соединяет вершины i и i-4.

Для построения матрицы выпишем слева вершины: i, i-1, i-2, а вверху - i-2, i-3, i-4. На пересечении строк и столбцов, идущих от вершин, в матрице будем записывать: 1 - если есть ребро связности, и 0 - если его нет.

Таких пересечений в матрице всего 6:

i - i-2, i - i-3, i - i-4,

i-1 - i-3, i-1 - i-4,

i-2 - i-4.

 

В нашем примере (рис. 19, б) ребро связности соединяет вершины i - i-4, поэтому в матрице на пересечении i-ой строки и i-4-го столбца стоит 1. Других ребер связности в графе нет, вследствие чего в остальных пересечениях стоят нули.

 

Общий вид матриц из 6 элементов показан на рис. 19, г. x1 - x6 - переменные, способные принимать значения 0 и 1 (булевы переменные). Иногда будет использоваться также строчная запись: x1x2x3x4x5x6.

Использование математического аналога – 4х-звенного цепного графа позволяет рассмотреть все его возможные конформации. Однако прежде чем к ним переходить,  необходимо напомнить основные конформации, которые может принимать белковая цепь и как эти конформации можно описывать с помощью графов и матриц.

3.1.3. Типичные структуры белков, их графы и матричные описания

Наиболее часто в белках встречаются четыре типа конформаций [21, 22] :

- слабо связная конформация;

- растянутая конформация в виде бета-структуры;

-  напряженная спиральная конформация 310, в которой водородная связь образуется между атомами NiHOi-3=C двух пептидных групп;

- альфа-спиральная конформация, энергетически наиболее выгодная, в которой водородная связь образована между NiHOi-4=C.

 

Ниже приведены пентафрагменты этих конформаций, четырехзвенные фрагменты описывающих их графов и описания в виде верхних треугольных матриц.  Обратите внимание на матрицы: мы их увидим в блоках Суперматрицы, которая будет представлена в следующем разделе.

 

 

а

 

 

 

 

 в

б

 

Рис. 20. Пентафрагмент слабо связной структуре белка (а), ее 4х-звеный граф (б) и матричное описание (в).

 

Фрагмент слабо связной структуры белка (рис. 20,а) изображается 4х-звенным графом, у которого нет ребер связности (рис. 20,б) , поэтому описывающая эту конформацию матрица содержит только нули (рис. 20,в)

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в

б

 

Рис. 21. Бета-структурный пентафрагмент белка (а), его 4х-звеный граф (б) и матричное описание (в).

 

 

В слоистой бета-структуре белка (рис.21,а) фиксация несмежных альфа-углеродных атомов происходит за счет водородных связей. Например, N i-1H-группа i-1-ой аминокислоты и C=Oi-3-группа i-3-ей образуют водородные связи с соседней цепью. В результате альфа-углеродные атомы i-1-ой - i-3-ей аминокислот оказываются связными (показано пунктиром на рис. 21, а). В 4-х звенном графе этой структуры (рис.21,б) ребра связности соединяют вершины i - i-2, i-1 - i-3 и i-2 - i-4, что отражено в матрице (рис.21,в)  значениями 1 в соответствующих пересечениях строк и столбцов.

 

 

 а

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 в

 

 

 

Рис. 22. Пентафрагмент белка в конформации спирали 310(а), его 4х-звеный граф (б) и его матричное описание (в).

 

В спирали 310, образуется две системы водородных связей из HNC=O-групп, которые и фиксируют ее конформацию (рис. 22, а). Они обеспечивают связность почти всех альфа-углеродных атомов 4х-звенного фрагмента, за исключением i-го - i-4-го, что наглядно видно на графе (рис. 22, б).. В матрице (рис. 22, в). для этой пары вершин стоит 0.

 

 а

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 в

 

 

 

Рис. 23. Альфа-спиральный пентафрагмент белка (а), его 4х-звеный граф (б) и его матричное описание (в).

 

 

Типичной структурой белков является альфа-спираль, 4-х звенный фрагмент которой показан на рисунке 23,а. В нем присутствует только одна водородная связь между NiH и Oi-4=C, фиксирующая атомы i-ый и i-4-ый. Однако в более протяженном фрагменте две другие HNC=O-группы также участвуют в фиксации альфа-углеродных атомов. Вследствие этого все атомы альфа-спиральных фрагментов оказываются связными, что показано на графе (рис. 23, б). Все переменные в матрице имеют значение 1 (рис. 23, в).

 

Возникают следующие вопросы:

- сколько всего может существовать связных конформаций 4х-звенных фрагментов белка, их графов и матриц из 6 элементов?

- можно ли их каким-либо образом классифицировать и расположить в виде таблицы?

 

С целью получения ответов  на эти вопросы мы провели такую работу на 4х-звенном графе и построили Суперматрицу его конформаций и описывающих эти конформации треугольных матриц (раздел 3.2.).

 

На главную страницу