Суперматрица конформаций 4-х звенного графа

3.2. Суперматрица конформаций 4-х звенного графа и ее пространственное представление

3.2.1. Построение и свойства Cуперматрицы, состоящей из треугольных матриц

Для начала мы построим Суперматрицу из треугольных матриц, описывающих конформации 4-х звенного графа и рассмотрим ее свойства. Верхних треугольных матриц, состоящих из шести переменных, имеется 2⁶, т.е. всего 64. Мы расположили эти матрицы в порядке увеличения степени связности описываемого ими графа Расположение матриц можно проводить по-разному, например, так, чтобы соседние матрицы в строках и столбцах отличались друг от друга на один бит [5]. Однако такой принцип расположения приходит в противоречие с принципами формирования соответствий триплетов и аминокислот (см. раздел. 3.3.), поэтому предпочтительнее оказался вариант расположения матриц в виде блоков (рис. 24). Рассмотрим основные свойства данной блочной Суперматрицы.

БЛОЧНАЯ СТРУКТУРА
Принцип систематизации треугольных матриц в виде блоков основан на том, что матрицы каждого блока группируются на основе общности второй пары переменных - x₃x₄. (см. раздел 3.1.2.) При этом, как видно на рисунке 24, в первом блоке (слева вверху), в верхнем левом углу находится матрица A, описывающая неспиральную конформацию ( полностью несвязный граф), содержащая только нули, а в четвертом блоке (справа внизу) в правом нижнем углу расположилась матрица A', описывающая спиральную конформацию графа (полностью связный граф), состоящая только из единиц.
Суперматрица состоит из 4-х блоков (рис. 24). В каждом блоке, состоящем из 16 матриц, вторая пара переменных x₃x₄ одинакова. В соответствии со значениями этих переменных блоки обозначены крупными цифрами: 00, 01 (верхние блоки) 10, 11 (нижние блоки). В блоках 00 и 01 x₃ = 0. Эти блоки выделены красно-коричневым цветом. В блоках 10 и 11 x₃ = 1. Они подцвечены темно-синим цветом. В каждом блоке в строках находятся матрицы, имеющие одинаковые первые пары переменных, они показаны слева сбоку. Порядок строк: 00, 10, 01, 11. В столбцах расположены матрицы с одинаковыми третьими парами переменных, которые показаны сверху. Последовательность столбцов: 00, 01, 10, 11.
	Рис. 24. Построение блочной суперматрицы из 64 треугольных матриц, описывающих конформации 4х-звенного графа.
СИММЕТРИЯ ВНУТРИ БЛОКОВ
	На главной диагонали каждого блока (например, блока 00) расположены матрицы, у которых первая пара переменных симметрична третьей паре: 000000, 100001 и т.д. Симметрично относительно главной диагонали расположены матрицы, у которых первая пара переменных симметрична третьей паре, например: 100000 и 000001, 010000 и 000010, и т.д.
Рис. 25. Симметрия треугольных матриц внутри блока 00.
АНТИСИММЕТРИЯ
В пределах суперматрицы каждая матрица имеет свой антипод, в котором значения 0 переходят в 1, а 1 - в 0, т.е. 0 <---> 1. Связанные этим преобразованием матрицы расположены поворотно симметрично (группа симметрии С₂), например: 000000 и 111111 (A и A'), 000001 и 111110 (B и B'), 000010 и 111101 (C и C'). Две группы антисимметричных матриц можно выделить различными способами. Выбранный нами вариант (буквы "Г", красно-коричневого и темно-синего цвета, вложенные друг в друга) обоснован ниже.
	Рис. 26 . Антисимметрия треугольных матриц в Суперматрице.
Выбранный нами вариант разреза Cуперматрицы при котором матрицы верхней части преобразуются в матрицы нижней половины путем замены 0 < --- > 1, совпадает с естественным разделением Гиперкуба B⁶ на две половины ("красную" и "синюю"), которые при повороте на 180^о совмещаются.
В данной Суперматрице каждая матрица содержит 6 переменных и может быть связана с шестью другими матрицами, отличающимися от исходной на одно значение (однобитовыми переходами). Это соответствует принципу построения булева гиперкуба B⁶, показанного ниже.

3.2.2. Пространственное представление Суперматрицы: булев гиперкуб B⁶.

РАСПОЛОЖЕНИЕ КВАРТЕТОВ МАТРИЦ
	Серии матриц из блоков, расположенных в "красно-коричневой" части Суперматрицы, находятся в Гиперкубе (рис. 27) в "красных" квартетах М₁¹ и М₂¹. Серии, состоящие из блоков "темно-синей" части Суперматрицы находятся в "синих" квартетах гиперкуба - М₁²и М₂². Желтым цветом на гиперкубе выделены квартеты матриц, обладающих симметрией пеpвой и третьей пар переменных.
Рис.27. Расположение квартетов треугольных мартиц на булевом гиперкубе B⁶.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АНТИСИММЕТРИИ
Треугольные матрицы, связанные преобразованием антисимметрии (0<--->1), располагаются симметрично (группа симметрии С₂) в "красной" и "синей" половинах Гиперкуба (рис. 28). Для желающих поразмышлять - полная структура гиперкуба В⁶ на белом фоне, которую можно распечатать на принтере.
	Рис. 28. Расположение матриц, связанных преобразованием антисимметрии на булевом гиперкубе B⁶.

3.2.3. Свойства 4х-звенных графов в блоках Суперматрицы

Графы и цепи белков можно характеризовать числом степеней свободы, т.е. возможностью перемещений элементов графа в трехмерном пространстве. Поскольку граф связан в цепь, то его элементы могут иметь максимум две степени свободы, например перемещаться вправо-влево или вперед-назад. Возможны также одна степень свободы и нулевая степень. В последнем случае все элементы графа, например, вершины, полностью фиксированы. Мы рассмотрим свойства графов внутри каждого из четырех блоков суперматрицы.

В блоках 00 и 01 x₃ = 0. Это означает, что между вершинами i и i-4 отсутствует ребро связности и графы этих блоков имеют незамкнутые конформации.

БЛОК 00

Hа главной диагонали каждого блока , например 00 (рис. 29), находятся графы, обладающие внутренней симметрией:

000000, 100001, 010010, 110011.

По обе стороны от главной диагонали расположены графы, симметричные друг другу, например:

100000 и 000001, 000010 и 010000 и т.д..

В блоке 00 находятся в основном слабо связные конформации, с числом степеней свободы 2 или 1. Единственный граф блока, имеющий нулевую степень свободы, описывается матрицей 110011.

Рис. 29. Слабо связные конформации 4х-звеннных графов в блоке 00.

БЛОК 01

В этом блоке расположены главным образом складчатые конформации, с числом степепеней свободы 1. Типичный пример такой конформации - граф, описываемый матрицей 100101, которая соответствует бета-структурной конформации белка (см. раздел 3.1.3.).

Единственный граф блока, имеющий нулевую степень свободы, описывается матрицей 110111. Он соответствует спирали 3₁₀, рассмотренной в разделе 3.1.3.

Рис. 30. Складчатые конформации 4х-звеннных графов в блоке 01.

В отличие от предыдущих, в блоках 10 и 11, рассмотренных ниже, x₃ = 1. Между вершинами i и i-4 этих графов имеется ребро связности и поэтому они являются циклическими.

БЛОК 10

Блок 10 (рис. 31) содержит слабо связные циклические конформации графа, со степенью свободы 1 и 2.

Три графа имеют фиксированную конформацию (степень свободы 0): 011011, 111010 и 111011. По своей структуре они близки к конформации альфа-спирали белка (см. раздел 3.1.3.).

Рис. 31. Подвижные циклические конформации 4х-звеннных графов в блоке 10.

БЛОК 11

В блоке 11 также находятся циклические конформации графа, однако они имеют существенно меньшую степень свободы.

Восемь из них - 101101, 101110, 011101, 011111, 111101, 111110 и 111111 являются фиксированными (степень свободы равна нулю) и соответствуют конформации альфа-спирали белка .

Рис. 31. Циклические конформации 4х-звеннных графов в блоке 11.

Приведенные графы и их матричные описания, однако, неудобны для хранения, передачи и тиражирования структурной информации, заключенной в них. Для этих целей значительно удобнее линейное расположение элементов, которого можно достичь после трансформации Cуперматрицы в триплетный код (раздел 3.3.).

На главную страницу